Question

4．探究一：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？
如圖甲，∠FDC、∠ECD為△ADC的兩個(gè)外角，則∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系∠FDC+∠ECD=180°+∠A．
探究二：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？
如圖乙，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，則∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？
已知：如圖丙，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，則∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）．
探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF呢？如圖丁
則∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

探究五：如圖，四邊形ABCD中，∠F為四邊形ABCD的∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)∠A=α，∠D=β；
（1）如圖①，α+β＞180°，則∠F=∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；（用α，β表示）
（2）如圖②，α+β＜180°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出∠F，且∠F=∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F嗎？如有，直接寫出∠F的值，如不一定，直接指出α，β滿足什么條件時(shí)，不存在∠F．

Answer 1

分析 探究一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；
探究二：根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究五：①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根據(jù)∠F的表示，∠F為0時(shí)不存在．

解答 解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠ACD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠ACD）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）；

探究四：六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（720°-∠A-∠B-∠E-∠F）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

探究五：①由四邊形內(nèi)角和定理得，∠BCD=360°-∠A-∠D-∠ABC，
∴∠DCE=180°-（360°-∠A-∠D-∠ABC）=∠A+∠D+∠ABC-180°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠DCE=∠A+∠D+∠ABC，∠FCE=∠F+∠FBC，
∵BF、CF分別是∠ABC和∠DCE的平分線，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FCE=$\frac{1}{2}$∠DCE，
∴∠F+∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D+∠ABC-180°）=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）+$\frac{1}{2}$∠ABC-90°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A=α，∠D=β，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；
②如圖5，同①可求，∠F=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；
③∠F不一定存在，當(dāng)α+β=180°時(shí)，∠F=0，不存在．
故答案為：探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；探究三：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）．探究四：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°；探究五：①$∠F=\frac{1}{2}（α+β）-{90°}$，②$∠F={90°}-\frac{1}{2}（α+β）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)解答思路求解是解題的關(guān)鍵．