Question

5．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O．
（1）若∠ACB=50°，∠ABC=70°，則∠BOC=120°
（2）若∠A=40°，則∠BOC=110°
（3）若∠A=x°，試猜想∠BOC=（90+$\frac{1}{2}$x）°，并證明你的猜想的正確性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可得到∠BOC的度數(shù)；
（2）根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可得到∠BOC的度數(shù)；
（3）根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可得到∠BOC的表達式．

解答 解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（70°+50°）
=120°，
故答案為：120；
（2）∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-40°）
=110°，
故答案為：110；
（3）∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
=90°+$\frac{1}{2}$x°，
故答案為：（90+$\frac{1}{2}$x）．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義的運用，解題時注意：三角形內(nèi)角和等于180°．