Question

13．如圖，PQ為⊙O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點(diǎn)A在⊙O的上半圓運(yùn)動（含P、Q兩點(diǎn)），連結(jié)AB，設(shè)∠AOB=α．有以下結(jié)論：
①當(dāng)線段AB所在的直線與⊙O相切時，AB=$\sqrt{3}$；
②當(dāng)線段AB與⊙O只有一個公共點(diǎn)A點(diǎn)時，α的范圍是0°≤α≤60°；
③當(dāng)△OAB是等腰三角形時，tanα=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$；
④當(dāng)線段AB與⊙O有兩個公共點(diǎn)A、M時，若AO⊥PM，則AB=$\sqrt{6}$．
其中正確結(jié)論的編號是①②④．

Answer 1

分析 ①如下圖1，根據(jù)條件，利用勾股定理可求出AB；
②如下圖2，首先考慮臨界位置：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點(diǎn)，此時α=0°；當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時，線段AB與圓O只有一個公共點(diǎn)，此時α=60°．從而定出α的范圍；
③經(jīng)分析若△OAB是等腰三角形，則AB=OB，過B作BD⊥AO，易得OD=$\frac{1}{2}$，利用勾股定理可得BD，得出結(jié)論；
④設(shè)AO與PM的交點(diǎn)為D，連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、OD，進(jìn)而求出PD、DM、AM、CM的值，得AB．

解答 解：①如圖1所示，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵OQ=QB=1，
∴OA=1，
∴AB=$\sqrt{{OB}^{2}{-OA}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故①正確；

②當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時，
線段AB與圓O只有一個公共點(diǎn)，此時α=0°；
當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時，如圖2所示
線段A1B與圓O只有一個公共點(diǎn)，
此時OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，
∴cos∠A1OB=$\frac{O{A}_{1}}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A1OB=60°，
∴當(dāng)線段AB與圓O只有一個公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時，
α的范圍為：0°≤α≤60°，
故②正確；

③過B作BD⊥AO，如圖3所示，
∵AB=OB，BD⊥AO，
∴OD=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
tan∠α=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{15}$，
故③錯誤；

④連接MQ，如圖4所示．
∵PQ是⊙O的直徑，
∴∠PMQ=90°，
∵OA⊥PM，
∴∠PDO=90°，
∴∠PDO=∠PMQ，
∴△PDO∽△PMQ，
∴$\frac{PD}{PM}=\frac{DQ}{MQ}=\frac{PO}{PQ}$，
∵PO=OQ=PQ，
∴PD=PM，OD=MQ，
同理：MQ=AO，BM=AB，
∵AO=1，
∴MQ=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{4}$，
∵∠PDO=90°，PO=1，OD=$\frac{1}{4}$，
∴PD=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴DM=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵∠ADM=90°，AD=A0-OD=$\frac{3}{4}$，
∴AM=$\sqrt{{AD}^{2}{+DM}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{3}{4}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{15}}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=BC，∠CAB=60°，
∵BM=AB，
∴AM=BM，
∴CM⊥AB，
∵AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AB=$\sqrt{6}$，
故④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、直線與圓相切、勾股定理、特殊三角函數(shù)值等知識，考查了用臨界值法求角的取值范圍，根據(jù)題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．