Question

6．已知拋物線y=-x²+3x+4交y軸于點A，交x軸于點B，C（點B在點C的右側(cè)）．過點A作垂直于y軸的直線l．在位于直線l下方的拋物線上任取一點P，過點P作直線PQ平行于y軸交直線l于點Q．連接AP．
（1）寫出A，B，C三點的坐標(biāo)；
（2）若點P位于拋物線的對稱軸的右側(cè)：
①如果以A，P，Q三點構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求出點P的坐標(biāo)；
②若將△APQ沿AP對折，點Q的對應(yīng)點為點M．是否存在點P，使得點M落在x軸上？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
③設(shè)AP的中點是R，其坐標(biāo)是（m，n），請直接寫出m和n的關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先令x=0求出y的值即可得出A點坐標(biāo)，再令y=0求出x的值即可得出BC兩點的坐標(biāo)；
（2）①分△AQP∽△AOC與△AQP∽△COA兩種情況進行討論；
②過點M作y軸的平行線交直線AQ于點E，過點P作PF⊥直線ME于點F，設(shè)Q（x，4），則P（x，-x²+3x+4），PQ=x²-3x=PM，再由△AEM∽△MFP求出PF的表達式，在Rt△AOM中根據(jù)勾股定理求出x的值，進而可得出P點坐標(biāo)；
③根據(jù)在位于直線l下方的拋物線上任取一點P，而又點P位于拋物線的對稱軸的右側(cè)，則a＞$\frac{3}{2}$，由點P在拋物線上即可建立m與n的關(guān)系．

解答 解：（1）∵令x=0，則y=4，
∴A（0，4）；
∵令y=0，則-x²+3x+4=0，解得x₁=4，x₂=-1，
∴B（4，0），C（-1，0）；

（2）①∵以A，P，Q三點構(gòu)成的三角形與△AOC相似，
∴△AQP∽△AOC與△AQP∽△COA，
∴$\frac{AQ}{QP}=\frac{AO}{CO}$或$\frac{AQ}{QP}=\frac{CO}{AO}$，
即$\frac{x}{{x}^{2}-3x}=\frac{4}{1}$或$\frac{x}{{x}^{2}-3x}=\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{13}{4}$或x=7，均在對稱軸的右側(cè)，
∴P（$\frac{13}{4}$，$\frac{51}{16}$）或（7，-24）；
②如圖所示，過點M作y軸的平行線交直線AQ于點E，過點P作PF⊥直線ME于點F，
設(shè)Q（x，4），則P（x，-x²+3x+4），PQ=x²-3x=PM，
∵∠EAM+∠EMA=90°，∠EMA+∠FMP=90°，
∴∠FMP=∠EAM．
∵∠MFP=∠AEM=90°，
∴△AEM∽△MFP，
∴$\frac{AM}{ME}=\frac{MP}{PF}$．
∵MP=x²-3x，
∴$\frac{x}{4}=\frac{{x}^{2}-3x}{PF}$，
∴PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
在Rt△AOM中，
∵OM²+OA²=AM²，即（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5均在拋物線對稱軸的右側(cè)，
∴P（4，0）或（5，-6）．
③∵拋物線y=-x²+3x+4和A（0，4），
∴拋物線和直線l的交點坐標(biāo)為A（0，4），（3，4），
設(shè)P（a，-a²+3a+4）；∵A（0，4），
∴把y=4代入y=-x²+3x+4中，得，x=0或x=3，
∴a＞3
∵AP的中點是R，A（0，4），
∴$\frac{a}{2}$=m，$\frac{-{a}^{2}+3a+4+4}{2}$=n，
∴n=-2m²+3m+4，
∵a＞3，
∴2m＞3，
∴m＞$\frac{3}{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識，在解答（2）時要分△AQP∽△AOC與△AQP∽△COA兩種情況進行討論．