Question

14．為改善洛陽的公共交通狀況，洛陽市開始建設(shè)地鐵系統(tǒng)，如圖為某地地鐵出站口的示意圖，為提高某一段臺(tái)階的安全性，決定進(jìn)行改善，把傾角由45°減至30°，已知原臺(tái)階坡面AB的長(zhǎng)為5m（BC所在平面為水平面）．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）
（1）改善后的臺(tái)階坡面會(huì)加長(zhǎng)多少？
（2）改善后的臺(tái)階多占多長(zhǎng)一段水平地面？

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=45°、AB=5知AB=AC=ABsin∠ABC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)∠ADC=30°知AD=2AC=5$\sqrt{2}$，即可得出答案；
（2）由（1）中AB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，根據(jù)CD=$\frac{AC}{tan∠ADC}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，由BD=CD-BC可得答案．

解答 解：（1）∵∠ABC=45°，AB=5，
∴AB=AC=ABsin∠ABC=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ADC=30°，
∴AD=2AC=5$\sqrt{2}$，
則AD-AB=5$\sqrt{2}$-5≈2.1（m），
答：改善后的臺(tái)階坡面會(huì)加長(zhǎng)2.1m；

（2）由（1）知，AB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ADC=30°，
∴CD=$\frac{AC}{tan∠ADC}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
則BD=CD-BC=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\sqrt{3}$-1）≈2.6（m），
答：改善后的臺(tái)階多占2.6m長(zhǎng)的一段水平地面．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義表示出所需線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．