Question

9．（1）如圖1所示，在△ABC中，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E．AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，連接AM、AN，求證：△AMN的周長=BC；
（2）如圖1所示，在△ABC中，若AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E．AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，連接AM、AN，試判斷△AMN的形狀，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖2所示，在△ABC中，若∠C=45°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，連接AM、AN，若AC=3$\sqrt{2}$，BC=9，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）由直線EM為線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理：可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三邊之和，等量代換可得其周長等于BC的長；
（2）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又由AB的垂直平分線EM交BC于M，得出∠BAM=30°，即可得出∠AMN=60°，同理：∠ANM=60°，即可得出結(jié)論；
（3）先利用NF是AC垂直平分線計(jì)算出CN，進(jìn)而得出AN，進(jìn)而得出BM=6-MN，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線ME為線段AB的垂直平分線（已知），
∴MA=MB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
又直線NQ為線段AC的垂直平分線（已知），
∴NA=NC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∴△AMN的周長l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代換），

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，
∴AM=BM，
∴∠BAM=∠ABM=30°，
∴∠AMN=∠ABM+∠BAM=60°，
同理：∠ANM=60°，
∴△AMN是等邊三角形；

（3）∵NF是AC的垂直平分線，
∴∠ANC=2∠CNF，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，AN=CN，
在Rt△CFN中，∠C=45°，
∴∠CNF=∠C=45°，CN=$\sqrt{2}$CF=3，
∴∠ANC=90°，AN=3，
∵BC=9，
∴BN=BC-CN=6=BM+MN，
∴BM=6-MN，
∵M(jìn)E是AB的垂直平分線，
∴AM=BM=6-MN，
在Rt△AMN中，根據(jù)勾股定理得，（6-MN）²-MN²=9，
∴MN=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了垂直平分線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是利用三角形的外角得出∠AMN=60°，解（3）的關(guān)鍵是得出BM=6-MN，是一道基礎(chǔ)題目．