Question

19．在銳角△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，E為AC中點．
（1）如圖1，過點C作CF⊥AB于F點，連接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度數(shù)；
（2）若M為線段BD上的動點（點M與點D不重合），過點C作CN⊥AM于N點，射線EN，AB交于P點．
①依題意將圖2補全；
②小宇通過觀察、實驗，提出猜想：在點M運動的過程中，始終有∠APE=2∠MAD．
小宇把這個猜想與同學(xué)們進行討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：連接DE，要證∠APE=2∠MAD，只需證∠PED=2∠MAD．
想法2：設(shè)∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通過角度計算得∠APE=2α．
想法3：在NE上取點Q，使∠NAQ=2∠MAD，要證∠APE=2∠MAD，只需證△NAQ∽△APQ．
…
請你參考上面的想法，幫助小宇證明∠APE=2∠MAD．（一種方法即可）

Answer 1

分析 （1）先求出∠BAC，再利用直角三角形的性質(zhì)判斷出EF=EA=$\frac{1}{2}$AC即可得出結(jié)論；
（2）①分點P在邊AB和AB的延長線上時，兩種情況補全圖形；
②Ⅰ、當點P在邊AB上時，
想法1、先判斷出∠PED=∠APE．再判斷出∠PED=2∠MAD代換即可；（用∠ADC=∠ANC=90°判斷出點A，N，D，C四點共圓更簡單）；
想法2、設(shè)出∠MAD=α，∠DAC=β，進而得出∠ANE=α+β，即可得出∠NEC=2α+2β．再判斷出∠BAC=2∠DAC=2β．即可得出∠APE=2α即可得出結(jié)論；
Ⅱ、同Ⅰ的方法可證．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAD=20°，
∴∠BAC=2∠BAD=40°．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°．
∵E為AC中點，
∴EF=EA=$\frac{1}{2}AC$．
∴∠AFE=∠BAC=40°．

（2）①Ⅰ、當點P在邊AB上時，補全圖形如圖1，

Ⅱ、當點P在AB的延長線上時，補全圖形如圖2，


②Ⅰ、當點P在邊AB上時，
證明：想法1：如圖3，

連接DE．
∵AB=AC，AD為BC邊上的高，
∴D為BC中點．
∵E為AC中點，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
【∵∠ADC=90°，E為AC中點，
∴$AE=DE=CE=\frac{1}{2}AC$．
同理可證$AE=NE=CE=\frac{1}{2}AC$．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以點E為圓心，AC為直徑的圓上，】
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．
【】里面的學(xué)過四點共圓的判斷方法的可以換成：
∵∠ADC=∠ANC=90°，
∴點A，N，D，C四點共圓；

想法2：設(shè)∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90°．
∵E為AC中點，
∴$AE=NE=\frac{1}{2}AC$．
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β．
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β．
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α．
∴∠APE=2∠MAD．
Ⅱ、當點P在AB的延長線上時，
證明：想法1：如圖4，
連接DE．
∵AB=AC，AD為BC邊上的高，
∴D為BC中點．
∵E為AC中點，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
∵∠ADC=90°，E為AC中點，
∴$AE=DE=CE=\frac{1}{2}AC$．
同理可證$AE=NE=CE=\frac{1}{2}AC$．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以點E為圓心，AC為直徑的圓上．
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．

想法2：設(shè)∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90°．
∵E為AC中點，
∴$AE=NE=\frac{1}{2}AC$．
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β．
∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β．
∴∠APE=∠PEC-∠BAC=2α．
∴∠APE=2∠MAD．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，同角或等角的余角相等，解（2）的關(guān)鍵是根據(jù)題意補全圖形，解（3）的關(guān)鍵是判斷出∠PED=∠APE，是一道很好的中考�？碱}．