Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過y軸上一點(diǎn)C，與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，連接BP并延長分別交⊙P、y軸于點(diǎn)D、E，連接DC并延長交x軸于點(diǎn)F．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，6）．
（1）求證：CD=CF；
（2）判斷⊙P與y軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）求直線BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）證△COF≌△CHD可得CD=CF；
（2）連接PC，先由CD=CF、PD=PB知PC∥BF，結(jié)合BF⊥y軸知PC⊥y軸，即可得出結(jié)論；
（3）連接AD，證BD=BF可得AD=OH=6、OA=DH=1，設(shè)BD=x，由BD²=AB²+AD²得x=10，從而知B（9，0），待定系數(shù)法求解可得．

解答 解：（1）如圖，作DH⊥OE于點(diǎn)H，

∴∠DHC=∠FOC=90°，∠DCH=∠FCO，
∵D（1，6）、F（-1，0），
∴DH=OF=1，
在△COF和△CHD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠COF=∠CHD}\\{∠OCF=∠HCD}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△CHD（AAS），
∴CD=CF；

（2）連接PC，
∵CD=CF、PD=PB，
∴PC為△BDF的中位線，
∴PC∥BF，
∵BF⊥y軸，
∴PC⊥y軸，
又PC為⊙P的半徑，
∴⊙P與y軸相切；

（3）如圖，連接AD，
由（2）知BF=2PC，
∵BD=2PC，
∴BD=BF，
∵BD是⊙P的直徑，
∴∠DAB=90°，
∴AD=OH=6，OA=DH=1，
設(shè)BD=x，
則AB=x-2，
由BD²=AB²+AD²得x²=（x-2）²+6²，
解得：x=10，
∴OB=OA+AB=1+8=9，即B（9，0），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
把B（9，0）、D（1，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=0}\\{k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{27}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{27}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題．此題難度不大，其中涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)．解題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．