Question

1．如圖，⊙O的半徑為6，AB是⊙O的直徑，C、D是AB的三等分點，∠ECB=∠FDB=60°，則圖中陰影部分的面積是6$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 連接OE，OF，延長EC交圓于G，連接OG、AG，作AM⊥EG于M，OH⊥EG于H，先證得△ACG≌△BDF，從而證得陰影部分的面積就是△AEG的面積，解特殊角的三角函數(shù)求得OH、AM，然后根據(jù)勾股定理和垂徑定理求得EG，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得．

解答 解：連接OE，OF，延長EC交圓于G，連接OG、AG，作AM⊥EG于M，OH⊥EG于H，
∵∠ECB=∠FDB=60°，
∴EG∥FD，
∴∠OCG=∠ODF，∠OGC=∠OFD，
在△COG和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCG=∠ODF}\\{∠OGC=∠OFD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△COG≌△DOF（AAS），
∴CG=DF，
在△ACG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACG=∠BDF=60°}\\{CG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BDF（SAS），
∴陰影部分的面積就是△AEG的面積，
∵OC=2，∠ECB=60°，
∴OH=$\sqrt{3}$，
∴EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴EG=2EH=2$\sqrt{33}$，
同理證得：AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴S_△AEG=$\frac{1}{2}$EG•AM=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{33}$×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{11}$，
即陰影部分的面積為6$\sqrt{11}$．
故答案為6$\sqrt{11}$．

點評 本題考查了三角形旋轉的性質，解特殊角的三角函數(shù)，勾股定理的應用，三角形面積公式等，證得△ACG≌△BDF是解題的關鍵．