Question

2．定義：如果二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y=-x²+3x-2函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由y=-x²+3x+2函數(shù)可知，a₁=-1，b₁=3，c₁=2根據(jù)a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請參考小明的方法解決下面的問題：
（1）寫出函數(shù)y=-x²+3x+2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）若函數(shù)y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；
（3）已知函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A、B、C關(guān)于原點的對稱點分別是A₁、B₁、C₁，試證明經(jīng)過點A₁、B₁、C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常數(shù)）與y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得關(guān)于m，n的方程，根據(jù)負數(shù)奇數(shù)次冪是負數(shù)，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A，B，C的坐標，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標，可得A₁、B₁、C₁，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義，可得答案．

解答 （1）由y=-x²+3x+2函數(shù)可知a₁=-1，b₁=3，c₁=2
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=-2
∴函數(shù)y=-x²+3x+2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是y=x²+3x-2
（2）函數(shù)y=-x²+$\frac{4}{3}$mx-2與y=x²-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”
∴$\frac{4}{3}$m=-2n，-2+n=0，
m=-3，n=2
∴（m+n）²⁰¹⁵=（-3+2）²⁰¹⁵=-1；
（3）數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，
∴A（-1，0），B（4，0）C（0，2），
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2）
得過點A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)是y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；
∵y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴a₁+a₂=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，b₁=b₂，c₁+c₂=2+（-2）=0，
∴經(jīng)過點A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．

點評 本題考察了二次函數(shù)綜合題，利用旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義是解（1）的關(guān)鍵；利用自變量與函數(shù)的關(guān)系得出A，B，C的坐標，有利用關(guān)于點對稱的點的坐標得出A₁、B₁、C₁是解（3）的關(guān)鍵，又利用了旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義．