Question

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+1，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A．
（1）若等邊△OBD的頂點D與點C重合，另一頂點B在第一象限內(nèi)，直接寫出點B的坐標；
（2）過點B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點P，使得△AOP的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的所有點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線AC解析式可求得C點坐標即D點坐標，過B作BE⊥x軸于點E，利用等邊三角形的性質可求得BE和OE的長，可求得E點坐標；
（2）由O、C關于l對稱，則直線AC與l的交點即為所求得點P，利用直線AC解析式可求得P點坐標；
（3）利用直線AC解析式可設出滿足條件的點的坐標，利用到坐標軸距離相等可得到方程，可求得滿足條件的點的坐標．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{4}$x+1中，令y=0可求得x=4，
∴D（4，0），
過B作BE⊥x軸于點E，如圖1，

∵△OBD為等邊三角形，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=2，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴B（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）∵等邊△OBD是軸對稱圖形，對稱軸為l，
∴點O與點C關于直線l對稱，
∴直線AC與直線l的交點即為所求的點P，
把x=2代入y=-$\frac{1}{4}$x+1，得y=$\frac{1}{2}$，
∴點P的坐標為（2，$\frac{1}{2}$）；
（3）設滿足條件的點為Q，其坐標為（m，-$\frac{1}{4}$m+1），
由題意可得-$\frac{1}{4}$m+1=m或-$\frac{1}{4}$m+1=-m，
解得m=$\frac{4}{5}$或m=-$\frac{4}{3}$，
∴在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的點的坐標為（$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及等邊三角形的性質、軸對稱的性質、函數(shù)圖象上點的坐標特征、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中作出點B到x軸的距離是解題的關鍵，在（2）中確定出P點的位置是解題的關鍵，在（3）中利用條件得到關于坐標的方程是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．