Question

1．矩形ABCD中，AD=2AB=2$\sqrt{2}$，E是AD的中點(diǎn)，Rt∠FEG頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將∠FEG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交AB，BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，設(shè)∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列結(jié)論：①BM=CN；②AM+CN=$\sqrt{2}$；③S_△EMN=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$，其中正確的是（　�。�

• A． ①
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=FN，MB=CN，故①正確；于是得到CF=AM+CN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，故②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=EN，推出△EMN是等腰直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinα=$\frac{AE}{EM}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，
作EF⊥BC于點(diǎn)F，則有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠FEN}\\{AE=EF}\\{∠MAE=∠NFE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN，故①正確；
∴CF=AM+CN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，故②正確；
∵Rt△AME≌Rt△FNE，
∴EM=EN，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∵∠AME=α，
∴sinα=$\frac{AE}{EM}$，
∴EM=$\frac{\sqrt{2}}{sinα}$，
∴S_△EMN=$\frac{1}{2}$EM²=$\frac{1}{si{n}^{2}α}$，故③正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定，本題的關(guān)鍵是證明Rt△AME≌Rt△FNE，利用全等的性質(zhì)和等量代換求解．