Question

15．在“感恩節(jié)”前夕，我市某學(xué)生積極參與“關(guān)愛孤寡老人”的活動(dòng)，他們購進(jìn)一批單價(jià)為6元一雙的“孝心襪”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣，并將所得利潤(rùn)全部捐給鄉(xiāng)村孤寡老人，在試賣階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是每雙10元時(shí)，每天的銷售量為200雙，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少20雙．
（1）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，“孝心襪”每天的銷售利潤(rùn)最大；
（2）結(jié)合上述情況，學(xué)生會(huì)干部提出了A、B兩種營(yíng)銷方案．
方案A：“孝心襪”的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過11元；
方案B：每天銷售量不少于20雙，且每雙“孝心襪”的利潤(rùn)至少為10元．
請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)銷售單價(jià)x元，利潤(rùn)為w元．由題意w=（x-6）[200-20（x-10）]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（2）分別求出兩種方案利潤(rùn)的最大值，即可判斷．

解答 解：（1）設(shè)銷售單價(jià)x元，利潤(rùn)為w元．
由題意w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
∵-20＜0，
∴x=13時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，
∴銷售單價(jià)為13元時(shí)，“孝心襪”每天的銷售利潤(rùn)最大．

（2）方案A：“孝心襪”的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過11元；
∵w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
又∵6＜x≤11，
∴x=11時(shí)，w的值最大，最大值為5740元．

方案B：每天銷售量不少于20雙，且每雙“孝心襪”的利潤(rùn)至少為10元．
∵w=（x-6）[200-20（x-10）]=-20（x-13）²+5780．
又∵16≤x≤19，
∴x=16時(shí)，w的值最大，最大值為5600元．
∵5740＜5600，
∴方案A的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，最大銷售利潤(rùn)的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=$\frac{2a}$時(shí)取得．