Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在BA、DC延長線上，且AE=CF，連接EF分別交AD、BC于G、H，求證：AC與GH互相平分．

Answer 1

分析 先根據(jù)平行四邊形的判定求出四邊形AFCE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OE=OF，OA=OC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出∠E=∠F，∠EGA=∠FHC，利用AAS即可證明△EAG≌△FHC，繼而可得出結(jié)論．

解答 證明：如圖，連接AF和CE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
即AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴OE=OF，OA=OC，
∵E、F分別是平行四邊形ABCD的邊BA、DC延長線上的點，
∴BE∥DF，
∴∠E=∠F，
又∵平行四邊形中AD∥BC，
∴∠EGA=∠EHB，
又∵∠EHB=∠FHC，
∴∠EGA=∠FHC，
在△EAG與△FHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠F}\\{∠EGA=∠FHC}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FHC（AAS），
∴GE=FH，
∵OE=OF，
∴OG=OH，
∵OA=OC，
即AC與GH互相平分．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊平行的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．