Question

7．如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）上的一點(diǎn)，連結(jié)OA，在線段OA上取一點(diǎn)B，作BC⊥x軸于點(diǎn)C，以BC的中點(diǎn)為對(duì)稱中心，作點(diǎn)O的中心對(duì)稱點(diǎn)O′，當(dāng)O′落在這條雙曲線上時(shí)，$\frac{OA}{OB}$的值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由O、A點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出直線OA的解析式，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及中心對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)O′的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出點(diǎn)B、A橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．
∵點(diǎn)A是雙曲線y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）上的一點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，-$\frac{2}{m}$），
∴直線OA的解析式為y=-$\frac{2}{{m}^{2}}$x，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-$\frac{2n}{{m}^{2}}$），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（n，0），
線段BC中點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，-$\frac{n}{{m}^{2}}$）．
∵點(diǎn)O、O′關(guān)于點(diǎn)（n，-$\frac{n}{{m}^{2}}$）對(duì)稱，
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（2n，-$\frac{2n}{{m}^{2}}$）．
∵點(diǎn)O′在反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴-$\frac{2n}{{m}^{2}}$=-$\frac{2}{2n}$，即$\frac{2{n}^{2}}{{m}^{2}}$=1，
∴$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$．
∵BC⊥x軸，AD⊥x軸，
∴BC∥AD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題已經(jīng)平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出$\frac{m}{n}$=$\sqrt{2}$．本題屬于中檔題，難度不大，但運(yùn)算稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平行線的性質(zhì)找出線段間的比例關(guān)系是關(guān)鍵．