Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），P（0，-1），將線段AB沿y軸向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，二次函數(shù)y=a（x-h）²+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P、C、D．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，a=2；當(dāng)m=2時(shí)，a=3；
（2）猜想a與m的關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）將線段AB沿y軸向上平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段C₁D₁，點(diǎn)C₁，D₁分別與點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)，二次函數(shù)y=2a（x-h）²+k的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，C₁，D₁，
①求n與m之間的關(guān)系；
②當(dāng)△COD₁是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出a的值．

Answer 1

分析 （1）分別把m=1和m=2代入可得C的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)P（0，-1）寫(xiě)出解析式為：y=ax²-1，再代入C或D的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)線段AB沿y軸向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，寫(xiě)出C和D的坐標(biāo)，同理將C的坐標(biāo)代入解析式中可得結(jié)論；
（3）①同理可得：a=$\frac{n+1}{2}$，由（2）中得：a=m+1，列等式可得：
②分別以三個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，由勾股定理列方程可得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，C（1，1），D（-1，1），
∵拋物線頂點(diǎn)P（0，-1），
∴y=ax²-1，
把C（1，1）代入得：a=2，
當(dāng)m=2時(shí)，C（1，2），D（-1，2），
∵拋物線頂點(diǎn)P（0，-1），
∴y=ax²-1，
把C（1，2）代入得：2=a-1，
a=3，
故答案為：2；3；
（2）a=m+1，理由是：
由題意得：C（1，m），D（-1，m）
把C（1，m）代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax²-1中得：m=a-1，
∴a=m+1
（3）①由題意得：C₁（1，n），D₁（-1，n），
把C₁（1，n）代入拋物線的解析式y(tǒng)=2ax²-1中得：n=2a-1，
∴a=$\frac{n+1}{2}$，
由（2）知：a=m+1，
∴m+1=$\frac{n+1}{2}$，
∴n-2m=1；
②分三種情況：
∵C（1，a-1），D₁（-1，2a-1），O（0，0），
i）當(dāng)∠D₁CO=90°時(shí)，△COD₁是直角三角形，如圖1，
由勾股定理得：${D}_{1}{C}^{2}+O{C}^{2}={D}_{1}{O}^{2}$，
（-1-1）²+（2a-1-a+1）²+1²+（a-1）²=（-1）²+（2a-1）²，
a²-a-2=0，
（a+1）（a-2）=0，
a₁=-1（舍），a₂=2；
ii）當(dāng)∠D₁OC=90°時(shí)，△COD₁是直角三角形，如圖2，
由勾股定理得：${D}_{1}{O}^{2}+O{C}^{2}={D}_{1}{C}^{2}$，
（-1）²+（2a-1）²+1²+（a-1）²=（1+1）²+（a-1-2a+1）²，
2a²-3a=0，
a（2a-3）=0，
a₁=0（舍），a₂=$\frac{3}{2}$；
iii）當(dāng)∠CD₁O=90°，△COD₁是直角三角形，
同理得：${D}_{1}{C}^{2}+{D}_{1}{O}^{2}=C{O}^{2}$，
（-1-1）²+（2a-1-a+1）²+（-1）²+（2a-1）²=1²+（a-1）²，
2a²-a+2=0，
△=1-4×2×2＜0，
此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，
綜上所述，當(dāng)△COD₁是直角三角形時(shí)，a的值是$\frac{3}{2}$或2．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，點(diǎn)的平移規(guī)律、勾股定理，采用了分類(lèi)討論的原則，第三問(wèn)中，當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，可以利用勾股定理列方程解決問(wèn)題．