Question

10．已知：∠1=∠2，3=∠4，過點(diǎn)P作PD∥BC交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)H，PK∥AC交直線BC于點(diǎn)K，請你解答下列問題：

（1）如圖1，求證：BD=DH-PK；
（2）如圖2、3，DH、PK又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想，不需要證明；
（3）在（1）（2）的條件下，若DB=10，CH=4，則DH=14或6．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形PKCH為菱形，得出PK=HC=PH，即可得出結(jié)論；
（2）證明四邊形PKCH為菱形，得出PK=PH，即可得出結(jié)論；
（3）在（1）（2）的條件下容易得出DH的長．

解答 （1）證明：如圖1所示：
∵PH∥BC，PK∥AC，
∴四邊形PKCH是平行四邊形，∠2=∠DPB，∠3=∠CPH，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠DPB，∠4=∠CPH，
∴BD=DP，PH=HC，
∴四邊形PKCH為菱形，
∴PK=HC=PH，
∴DH=DP+PH=BD+HC=BD+PK，
∴BD=DH-PK；
（2）解：圖2猜想：BD=DH+PK；理由如下：如圖2所示：
∵PH∥BC，PK∥AC，
∴四邊形PKCH是平行四邊形，∠2=∠DPB，∠3=∠CPH，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠DPB，∠4=∠CPH，
∴BD=DP，PH=HC，
∴四邊形PKCH為菱形，
∴PK=PH，
∴DP=DH+PK，
∴BD=DH+PK；
圖3猜想：BD=DH-PK；理由如下：如圖3所示：
∵PH∥BC，PK∥AC，
∴四邊形PKCH是平行四邊形，∠2=∠DPB，∠3=∠CPH，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠DPB，∠4=∠CPH，
∴BD=DP，PH=HC，
∴四邊形PKCH為菱形，
∴PK=PH，
∴DP=DH-PK，
∴BD=DH-PK；
（3）解：在（1）的條件下，
∵CH=PK，BD=DH-PK，
∴DH=BD+CH=10+4=14；
在（2）的條件下，圖3同（1）得：DH=14；
圖2情況下，∵CH=PK，BD=DH+PK，
∴DH=BD-CH=10-4=6．
故答案為：14或6．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；證明四邊形為菱形是解決問題的關(guān)鍵．