Question

1．已知關(guān)于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線C₁．將拋物線C₁向下平移后經(jīng)過點(diǎn)A（0，-2）進(jìn)而得到新的拋物線C₂，直線l經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B（2，0），求直線l和拋物線C₂的解析式；
（3）在直線l下方的拋物線C₂上有一點(diǎn)C，求點(diǎn)C到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：m=0或m≠0分類探討得出答案即可；
（2）首先由二次函數(shù)y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求得m的數(shù)值，得出拋物線的解析式，進(jìn)一步利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（3）過點(diǎn)C作CE⊥x軸交AB于E得出∠DEC=∠OAB=45°，設(shè)出C、E坐標(biāo)，表示出CE，建立二次函數(shù)求得最大值即可．

解答 （1）證明：當(dāng)m=0時，x=2；
當(dāng)m≠0時，△=（3m-1）²-4m（2m-2）=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1=（m+1）²，
∵（m+1）²≥0，
∴△≥0
綜上所述：無論m取任何實(shí)數(shù)時，方程恒有實(shí)數(shù)根；
（2）∵二次函數(shù)y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴2m-2=0，
∴m=1，
拋物線C₁的解析式為：y=x²-2x，
拋物線C₂的解析式為：y=x²-2x-2，
設(shè)直線l所在函數(shù)解析式為：y=kx+b，
將A（0，-2）和點(diǎn)B（2，0）代入y=kx+b，
∴直線l所在函數(shù)解析式為：y=x-2；
（3）據(jù)題意：過點(diǎn)C作CE⊥x軸交AB于E，
可證∠DEC=∠OAB=45°，則$CD=\frac{{\sqrt{2}EC}}{2}$，
設(shè)C（t，t²-2t-2），E（t，t-2），（0＜t＜3）
∴EC=y_E-y_C=-t²+3t=$-{（{t-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)$t=\frac{3}{2}$時，$E{C_{max}}=\frac{9}{4}$
∵CD隨EC增大而增大，
∴$C{D_{max}}=\frac{9}{8}\sqrt{2}$為所求．

點(diǎn)評 此題考查拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)與其判別式的關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及拋物線平移與最值問題．