Question

18．如圖，直線y=kx-2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，C，且OC=2OB，A為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；
（2）當(dāng)△AOB的面積是4時(shí)，求A點(diǎn)在第一象限的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線解析式，令x=0求出y的值，確定出C的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OC的長(zhǎng)，根據(jù)OC=2OB求出OB的長(zhǎng)，確定出B坐標(biāo)，代入直線解析式求出k的值即可；
（2）三角形AOB以O(shè)B為底邊，A縱坐標(biāo)為高，表示出面積，根據(jù)面積為4求出A的縱坐標(biāo)，代入直線解析式求出橫坐標(biāo)，即可確定出A的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形，分三種情況考慮：①若OA=OP₁時(shí)，△OP₁A為等腰三角形；②若AP₂=OP₂時(shí)，△OP₂A為等腰三角形；③若OA=AP₃時(shí)，△OAP₃為等腰三角形，分別求出P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=kx-2，
令x=0，得到y(tǒng)=-2，即C（0，-2），
∵OC=2OB，OC=2，
∴OB=1，即B（1，0），
把B（1，0）代入直線解析式得：k=2；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$OB•y_A=4，OB=1，
∴y_A=8，
把y=8代入y=2x-2中，得x=5，
則A的坐標(biāo)為（5，8）；
（3）在（2）的條件下，在x軸上存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形，
如圖所示，分三種情況考慮：
①若OA=OP₁時(shí)，△OP₁A為等腰三角形，
根據(jù)勾股定理得：OA=$\sqrt{{5}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴OP₁=$\sqrt{89}$，即P₁坐標(biāo)為（-$\sqrt{89}$，0）；
②若AP₂=OP₂時(shí)，△OP₂A為等腰三角形，DP₂垂直平分線段OA，
∵直線OA解析式為y=$\frac{8}{5}$x，D坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，4），
∴直線P₂D解析式為y-4=-$\frac{5}{8}$（x-$\frac{5}{2}$），
令y=0，得到x=8.9，即P₂（8.9，0）；
③若OA=AP₃時(shí)，△OAP₃為等腰三角形，
過(guò)A作AE⊥x軸，可得OE=P₃E=5，即OP₃=10，此時(shí)P₃（10，0），
綜上，在（2）的條件下，在x軸上存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形，P的坐標(biāo)為（-$\sqrt{89}$，0）或（8.9，0）或（10，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．