Question

11．如圖，△APB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到△A′P′B，且AB=4，那么AA′的長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．（不取近似值，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，cos15°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 連接AA′，過B作BC⊥AA′于點(diǎn)C，由題意知BA=BA′，再根據(jù)等腰三角形底邊上高也是底邊上的中線和頂角的平分線得到∠ABC=15°，最后利用AC=ABsin15°和已知條件即可求出AA′．

解答 解：如圖，連接AA′，過B作BC⊥AA′于點(diǎn)C．
∵△APB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到△A′P′B，
∴BA=BA′，∠ABA′=30°，
∵BC⊥AA′于點(diǎn)C，
∴∠ABC=15°，AA′=2AC．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC=ABsin15°=4×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴AA′=2AC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義．