Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為D，P為AD上的動點，Q在BA的延長線上，且∠CPQ=60°．
（1）如圖①，當P與D重合時，求證：PQ=PC；
（2）如圖②，當P與A、D不重合時，（1）的結論是否成立？說明理由；
（3）M為BC上的動點，N為AB上的動點，BC=4，直接寫出AM+MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰三角形的性質得出∠B=30°，再用三角形的外角得出∠BQP=30°，進而得出BP=PQ，即可；
（2）利用三角形的內(nèi)角和和線段的垂直平分線判斷出BP=QP，同（1）的方法即可得出結論；
（3）先找出點M，N的位置，利用銳角三角函數(shù)先求出AD，進而得出AA'，即可得出結論．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，當點P和D重合時，∠CPQ=∠B+∠BQP=60°，
∴∠BQP=60°-∠B=30°，
∴BP=QP，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=BP=PC，
∴PQ=PC，

（2）、（1）中結論仍然成立，
理由：如圖②，
連接BP，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴BP=PC，∠BPD=∠CPD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠ABC=60°，
∴∠APQ=180°-∠DAQ-∠BQP=180°-120°-∠BQP=60°-∠BQP，
∵∠APQ+∠CPQ+∠DPC=180°，
∴∠DPC=180°-∠APQ-∠CPQ=180°-（60°-∠BQP）-60°=60°+∠BQP，
∴∠DBP=90°-∠BPD=90°-∠DPC=90°-（60°+∠BQP）=30°-∠BQP，
∵∠DBP+∠PBQ=30°，
∴∠PBQ=30°-∠DBP=30°-（30°-∠BQP）=∠BQP，
∴BP=PC，
∵BP=PC，
∴PQ=PC；

（3）如圖，
作A關于BC的對稱點A'，作A'N⊥AB于點N，交BC于點M，則此時AM+MN的最小值，且AM+MN=A'N，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
在Rt△ABD中，AD=BD•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AA'N中，AA'=2AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠A'AN=60°，
∴A'N=AA'•tan60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=4，
即：AM+MN的最小值是4．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質和判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質，銳角三角函數(shù)，解（2）的關鍵是判斷出PB=PQ，解（3）的關鍵是找出點M，N的位置，是一道中等難度的中考�？碱}．