Question

17．如圖，BE是⊙O的直徑，C點(diǎn)是半徑OE上一點(diǎn)，?ABCD的頂點(diǎn)A在⊙O上，連AC．
（1）如圖1，若AD與⊙O相切，且?ABCD是菱形，求tan∠ACB的值；
（2）如圖2，連DO，若AC⊥BE，且sin∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求tan∠ADO的值．

Answer 1

分析 （1）連接AO，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AO⊥AD，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，得到△ABO是等腰直角三角形，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{2}$r，于是得到結(jié)論；
（2）連接AO，AC，過D作DH⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，推出四邊形ACH都是矩形，得到CH=AD，設(shè)AC=$\sqrt{5}$a，CD=5a，得到AD=2$\sqrt{5}$a，設(shè)AO=BO=r，根據(jù)勾股定理得到r=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$a，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接AO，
∵AD與⊙O相切，
∴AO⊥AD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AO⊥BC，
∵AO=OB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴AO=OB=r，
則AB=$\sqrt{2}$r，
∴OC=（$\sqrt{2}$-1）r，
∴tan∠ACB=$\frac{AO}{OC}$=$\sqrt{2}$+1；

（2）連接AO，AC，過D作DH⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于H，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AC⊥BE，
∴AC⊥AD，
∴四邊形ACH都是矩形，
∴CH=AD，
∵sin∠ADC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴設(shè)AC=$\sqrt{5}$a，CD=5a，
∴AD=2$\sqrt{5}$a，
∴BC=CH=2$\sqrt{5}$a，
設(shè)AO=BO=r，
∴OC=2$\sqrt{5}$a-r，
∵AO²=OC²+AC²，
∴r²=（2$\sqrt{5}$a-r）²+（$\sqrt{5}$a）²，
∴r=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$a，
∴OH=4$\sqrt{5}$a-$\frac{5\sqrt{5}}{4}$a=$\frac{11\sqrt{5}}{4}$a，
∴tan∠ADO=tan∠DOH=$\frac{DH}{OH}$=$\frac{\sqrt{5}a}{\frac{11\sqrt{5}}{4}a}$=$\frac{4}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．