Question

15．如圖，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，點E沿A→D方向移動，點F沿D→A方向移動，速度都是1cm/s．如果E、F兩點同時分別從A、D出發(fā)移動，且當E、F兩點相遇即停止．設移動時間為t（s）
（1）四邊形BCFE的面積為矩形ABCD面積的四分之三時，t是多少？
（2）當BE與CF所在直線的夾角是60°時，t是多少？
（3）四邊形BCFE的對角線BF與CE的夾角是90°時，t是多少？

Answer 1

分析 （1）先由題意得出EF=3-2t，再根據(jù)四邊形BCFE的面積為矩形ABCD面積的四分之三，由梯形的面積公式列出方程，解方程即可求出t的值；
（2）根據(jù)題意得出△BCM是等邊三角形，得出∠CBE=60°，求出∠ABE=30°，由三角函數(shù)即可求出t的值；
（3）由題意得出△ABF是等腰直角三角形，得出AF=AB，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：AE=DE=t，∴EF=3-2t，
∵四邊形BCFE的面積為矩形ABCD面積的四分之三，
∴四邊形BCFE的面積=$\frac{1}{2}$（3-2t+3）×2=$\frac{3}{4}$×3×2，
解得：t=$\frac{3}{4}$，
∴四邊形BCFE的面積為矩形ABCD面積的四分之三時，t=$\frac{3}{4}$；
（2）當BE與CF所在直線的夾角是60°時，如圖1所示：
△BCM是等邊三角形，
∴∠CBE=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°-60°=30°，
∴t=AB•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）四邊形BCFE的對角線BF與CE的夾角是90°時，如圖2所示：
則∠CBE=∠BCF=45°，
∴∠ABF=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB，
即3-t=2，
解得：t=1．

點評 本題考查了矩形的性質、梯形面積、矩形面積、三角函數(shù)、等腰直角三角形的判定與性質；熟練掌握矩形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．