Question

11．已知兩直線y₁=kx+k-1，y₂=（k+1）x+k（k是正整數(shù)），設(shè)兩條直線與x軸圍成三角形的面積為S_k，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=（　�。�

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2014}{2013}$
• D． $\frac{1007}{2015}$

Answer 1

分析 先根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出直線y₁=kx+k-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{k-1}{k}$，0）；直線y₂=（k+1）x+k與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{k}{k+1}$，0），再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=kx+k-1}\\{{y}_{2}=（k+1）x+k}\end{array}\right.$得直線y₁=kx+k-1與直線y₂=（k+1）x+k（k是正整數(shù)）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），根據(jù)三角形面積公式得到S_k=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），然后分別計(jì)算S₁、S₂、S₃、S₂₀₁₄，再把它們相加即可．

解答 解：當(dāng)y=0時(shí)，kx+k-1=0，解得x=-$\frac{k-1}{k}$，則直線y₁=kx+k-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{k-1}{k}$，0）；
當(dāng)y=0時(shí)，（k+1）x+k=0，解得x=-$\frac{k}{k+1}$，則直線y₂=（k+1）x+k與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{k}{k+1}$，0）；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=kx+k-1}\\{{y}_{2}=（k+1）x+k}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，則直線y₁=kx+k-1與直線y₂=（k+1）x+k（k是正整數(shù)）的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以兩條直線與x軸圍成三角形的面積為S_k=$\frac{1}{2}$•1•|-$\frac{k-1}{k}$+$\frac{k}{k+1}$|=$\frac{1}{2}$•|$\frac{1}{k（k+1）}$|=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{k（k+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），
當(dāng)k=1時(shí)，S₁=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$），
當(dāng)k=2時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），
當(dāng)k=3時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$），
…
當(dāng)k=2014時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$），
所以S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1007}{2015}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么它們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．從特殊到一般是解決規(guī)律型問題的一般方法．