Question

2．如圖，等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD為AC邊上的高．
（1）求證：∠DBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）若∠A為鈍角，其它條件不變，畫圖證明上述結(jié)論是否成立；
（3）若∠ABD=40°，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），∠C=90°-∠DBC，等量代換即可得到結(jié)論；
（2）由垂直的定義得到∠ADB=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠C=90°-∠DBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），等量代換即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∵BD⊥AC，
∴∠C=90°-∠DBC，
∴$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-∠DBC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）上述結(jié)論成立，如圖，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠C=90°-∠DBC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-∠DBC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵∠BDC=40°，
∴∠C=50°，
∴∠ABC=∠C=50°．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．