Question

12．已知如圖，△ABC的面積為2400cm²，底邊BC長為80cm，若點(diǎn)D在BC邊上，E在AC邊上，F(xiàn)在AB邊上，且四邊形BDEF為平行四邊形．設(shè)BD=xcm，S_□BDEF=y cm²．求：
（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC的面積，可求得BC邊上的高，易證得△CDE∽△CBA，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可用x表示出E到CD的距離，即平行四邊形BD邊上的高，進(jìn)而可根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算方法得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）根據(jù)BC的長即可得到x的取值范圍．
（3）由（1）得到函數(shù)解析式，結(jié)合（2）的自變量取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值及對應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）設(shè)△DCE的高為hcm，如答圖所示，

△ABC的高為bcm，則y=S_{平行四邊形BDEF}=x•h；
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•b，
∴2400=$\frac{1}{2}$×80b，∴b=60（cm）．
∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC．
∴$\frac{h}=\frac{DC}{BC}$，即$\frac{h}{60}=\frac{80-x}{80}$，
∴h=$\frac{3（80-x）}{4}$．
∴y=$\frac{3（80-x）}{4}$•x=-$\frac{3}{4}$x²+60x．
（2）自變量x的取值范圍是0＜x＜80．
（3）∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，∴y有最大值；
當(dāng)x=40時(shí)，y_最大值=1200（cm²）．

點(diǎn)評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的知識，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的面積進(jìn)行分析，能夠根據(jù)二次函數(shù)探求函數(shù)的最值，難度適中．