Question

3．在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，將線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BD，再將線(xiàn)段BD平移到EF，使點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上．
（1）如圖1，直接寫(xiě)出∠ABD和∠CFE的度數(shù)；
（2）在圖1中證明：AE=CF；
（3）如圖2，連接CE，判斷△CEF的形狀并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DBC=60°，再根據(jù)等腰三角形得出∠ABC=75°，解答即可．
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定進(jìn)行判斷和證明即可．

解答 解：（1）∵線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BD，
∴∠DBC=60°，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=75°，
∴∠ABD=15°，
∴∠CFE=45°；
（2）證明：連結(jié)CD、DF．
∵線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BD，
∴BD=BC，∠CBD=60°．
∴△BCD是等邊三角形．
∴CD=BD．
∵線(xiàn)段BD平移到EF，
∴EF∥BD，EF=BD．
∴四邊形BDFE是平行四邊形，EF=CD．
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°．
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=15°=∠ACD．
∴∠DFE=∠ABD=15°，∠AEF=∠ABD=15°．
∴∠AEF=∠ACD=15°．
∵∠CFE=∠A+∠AEF=30°+15°=45°，
∴∠CFD=∠CFE-∠DFE=45°-15°=30°．
∴∠A=∠CFD=30°．
在△AEF和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠ACD}\\{∠A=∠CFD}\\{EF=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△FCD（AAS）．
∴ΑE=CF． 
（3）答：△CEF是等腰直角三角形．
證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF于G，
∵∠CFE=45°，
∴∠FEG=45°．
∴EG=FG．
∵∠A=30°，∠AGE=90°，
∴EG=$\frac{1}{2}$AE．
∵ΑE=CF，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF．
∴FG=$\frac{1}{2}$CF．
∴G為CF的中點(diǎn)．
∴EG為CF的垂直平分線(xiàn)．
∴EF=EC．
∴∠CEF=2∠FEG=90°．
∴△CEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．