Question

6．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與拋物線y=ax²+$\frac{9}{4}$x+c相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上存在一點(diǎn)M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，BE=2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB在直線AB的同側(cè)，∠BED=90°，△BDE沿著BA方向以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B與A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△BDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式，求出A與B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）由M在拋物線圖象上，設(shè)出M坐標(biāo)，分兩種情況考慮：①當(dāng)∠MBA=90°時(shí)；②當(dāng)∠BAM′=90°時(shí)，分別求出M坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)t的范圍，分三種情況考慮：當(dāng)0≤t≤$\frac{1}{3}$時(shí)；當(dāng)$\frac{1}{3}$≤t≤3時(shí)；當(dāng)3≤t≤5時(shí)，分別確定出S與t的函數(shù)解析式即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=-$\frac{3}{4}$x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，0=-$\frac{3}{4}$x+3，即x=4，
∴A（4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即B（0，3），
把A與B坐標(biāo)代入y=ax²+$\frac{9}{4}$x+c中，得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+9+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；″
（2）設(shè)M坐標(biāo)為（x，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3），
①當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，如圖1，作MN⊥y軸，則有∠MNO=90°，
∴∠NMB+∠MBN=90°，
∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°，
∴∠MBN+∠ABO=90°，
∴∠NMB=∠ABO，
∵∠MNO=∠BOA，
∴△MNB∽△BOA，
∴$\frac{MN}{BO}$=$\frac{BN}{AO}$，
即$\frac{x}{3}$=$\frac{-\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{9}{4}x+3-3}{4}$，
解得：x=$\frac{11}{9}$或x=0（舍去），
當(dāng)x=$\frac{11}{9}$時(shí)，y=$\frac{125}{27}$，即M（$\frac{11}{9}$，$\frac{125}{27}$）；
②當(dāng)∠BAM′=90°時(shí)，易知△AM′N′∽△BAO，∴$\frac{A{N}^{′}}{BO}=\frac{M′N′}{AO}$，
即$\frac{4-x}{3}=\frac{\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x-3}{4}$，解得x=-$\frac{25}{9}$或4（舍去），當(dāng)x=-$\frac{25}{9}$時(shí)，y=-$\frac{244}{27}$，
即M′（-$\frac{25}{9}$，-$\frac{244}{27}$），
則滿足條件M的坐標(biāo)為（$\frac{11}{9}$，$\frac{125}{27}$）或（-$\frac{25}{9}$，-$\frac{244}{27}$）；
（3）如圖2所示，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，易知△AD′E′∽△ABO，
∴$\frac{AE′}{AO}=\frac{D′E′}{BO}$，∴AE′=$\frac{8}{3}$，∴EE′=AB-BE-AE′=5-2-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)0≤t≤$\frac{1}{3}$時(shí)，S=2；
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤t≤3時(shí)，S=-$\frac{9}{56}$t²+$\frac{3}{28}$t+$\frac{111}{56}$；  
當(dāng)3≤t≤5時(shí)，S=$\frac{3}{14}$t²-$\frac{15}{7}$t+$\frac{75}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．