Question

3．（1）正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，如圖1，請直接猜想并寫出AO與CD之間的數(shù)量關系：AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；
（2）如圖2，將（1）中的△BOC繞點B逆時針旋轉得到△BO₁C₁，連接AO₁，DC₁，請猜想線段AO₁與DC₁的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，矩形ABCD和Rt△BEF有公共頂點，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，則$\frac{AE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質得AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，由勾股定理得到AO與CD之間的數(shù)量關系；
（2）如圖2根據(jù)正方形的性質得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，得到△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，求出AC=$\sqrt{2}$AB　BC=$\sqrt{2}$BO，得到BD=$\sqrt{2}$AB，因為△BOC繞點B逆時針方向旋轉得到△BO₁C₁，所以∠O₁BC₁=∠OBC=45°，OB=O₁B，BC₁=BC，BC₁=$\sqrt{2}$BO₁，由∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，得到∠1=∠2，于是得到△BDC₁∽△BAO₁，求出結論；
（3）如圖3在R_t△ABD中，cos∠ABD=$\frac{AB}{BD}$，在R_t△EBF中，cos∠EBF=$\frac{EB}{FB}$因為∠EBF=∠ABD=30°得到$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，得到
∠EBA=∠FBD，△AEB∽△FBD，由相似的性質得到解．

解答 解：（1）AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD．理由如下：如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AO=OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，∠DOC=90°，
∴AO=CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
故答案為AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；

（2）如圖2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{2}AB，BC=\sqrt{2}BO$，
∴$BD=\sqrt{2}AB$，
∵△BOC繞點B逆時針方向旋轉得到△BO₁C₁，
∴∠O₁BC₁=∠OBC=45°，OB=O₁B，BC₁=BC，
∴BC₁=$\sqrt{2}$BO₁，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC₁∽△BAO₁，
∴$\frac{{DC}_{1}}{{AO}_{1}}=\frac{BD}{BA}=\sqrt{2}$，
∴${AO}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{DC}_{1}$；
（3）如圖3 在R_t△EBF中，cos∠EBF=$\frac{EB}{FB}$
在R_t△ABD中，cos∠ABD=$\frac{AB}{BD}$，
∵∠EBF=∠ABD=30°，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠EBF+∠FBA=∠ABD+∠FBA，
即∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△FBD，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，相似三角形的性質與判定等知識點，找相似三角形是關鍵．