Question

13．若關(guān)于x的方程$\frac{2k}{x+2}-\frac{x-1}{{{x^2}+2x}}=\frac{kx+1}{x}$只有一個(gè)解（相等的解也算作一個(gè)），求k的值．

Answer 1

分析 首先去分母、去括號(hào)、把方程化成一般形式，然后分成方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)是一個(gè)一元一次方程時(shí)只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)一元二次方程時(shí)，△=0只有一個(gè)解；當(dāng)△＞0時(shí)，方程有一個(gè)解是增根時(shí)也只有一個(gè)解．

解答 解：原分式方程可化為kx²+2x+1=0．（x≠0，x≠-2）①
（1）當(dāng)k=0時(shí)，x=-$\frac{1}{2}$是分式方程的一個(gè)解．
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，△=2²-4k=0時(shí)，k=1，x=-1是分式方程的一個(gè)解．
（3）當(dāng)k≠0時(shí)，△＞0時(shí)，方程①的兩個(gè)根一個(gè)是分式方程的增根，另一個(gè)是分式方程的根．
當(dāng)x=-2是分式方程的增根時(shí)，代入方程①得k（x-2）2+2×（-2）+1=0，
則k=$\frac{3}{4}$．
此時(shí)，方程①的另一個(gè)根$x=-\frac{2}{3}$是分式方程的一個(gè)解；
當(dāng)x=0是分式方程的增根時(shí)，代入方程①得k×0²+2×0+1=0不可能成立．
故k的值是0或1或$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式方程的解，注意到當(dāng)△＞0時(shí)，方程有一個(gè)解是增根時(shí)也只有一個(gè)解是本題的關(guān)鍵．