Question

1．如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點(diǎn) F．
（1）求證：BD=BF；   
（2）若 EF=6，CF=3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由切線的性質(zhì)可證明OE∥BC，再結(jié)合OD=OE，可證明∠BDF=∠F，可證得BD=BF；
（2）在Rt△CEF中可證得∠F=60°，結(jié)合（1）的結(jié)論可證明△BDF為等邊三角形，連接BE，則E為DF的中點(diǎn)，可求得DF，則可求得BD，可求得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：
如圖1，連接OE，

∵AC是⊙O的切線，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODF=∠F，
∴BD=BF；
（2）解：
如圖2，連接BE，
∵BD為⊙O的直徑，
∴BE⊥DF，
∴DE=EF=6，

∵CF=3，EF=6，
∴cos∠F=$\frac{CF}{EF}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠F=60°，
又由（1）可知BD=BF，
∴△BDF為等邊三角形，
∴BD=DF=12，
∴⊙O的半徑為6．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，在（1）中證得∠ODE=∠F是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得△BDF為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．