Question

15．如圖，拋物線y=-x²+3x與x軸交于一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為A，連接BA并延長(zhǎng)與y軸交于點(diǎn)C，則陰影部分的面積和為$\frac{27}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到圖中陰影部分的面積=三角形OAC的面積．

解答 解：∵y=-x²+3x=-x（x-3）=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴該拋物線經(jīng)過(guò)O（0，0），B（0，3），且頂點(diǎn)A（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．
又∵點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到：S_陰影=S_△OAC．
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于E，則AE∥OC，
又∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，
∴AE是△OBC的中位線，
∴OC=2AE=$\frac{9}{2}$，
∴S_陰影=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{27}{8}$，
故答案是：$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．利用拋物線的對(duì)稱性質(zhì)將所求的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的難點(diǎn)．