Question

6．如圖，在等腰△ABC中，AB=CB，M為△ABC內(nèi)一點，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°，則∠BMC的度數(shù)為150°．

Answer 1

分析 以AC為邊作對邊△BCE，使A，E在BC的同側(cè)，連接AE，利用全等三角形證得角與角的關(guān)系，AB=BD，得到等腰三角形，由等邊對等角，三角形的內(nèi)角和求解．

解答 解：以AC為邊作等邊△ACE，使B，E在AC的同側(cè)，連接BE，
設(shè)∠BCM=θ，∠ABM=α，∠CBM=β，
在△ABE與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{BE=BE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCE，
∴∠AEB=∠BEC=30°=∠ACM，
∵∠BAE=∠EAC-∠BAM-∠MAC=30°-θ=∠MAC，
在△ABE與△AMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠ACM}\\{∠ABE=∠AMC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MAC，
∴AB=AM，
∴α=∠ABM=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAM）=90°-θ，
∴β=180°-∠BAC-∠BCA-α=30°-θ，
∴∠BMC=180°-β-θ=150°．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是角與角之間的關(guān)系．