Question

15．如圖，正方形ABCD中，AB=2，E為BC中點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N分別在邊CD和AD上運(yùn)動(dòng)且MN=1，若△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似，則DM為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理求出AE，分△ABE∽△MDN和△ABE∽△NDM兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=1，
由勾股定理得，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
當(dāng)△ABE∽△MDN時(shí)，$\frac{AB}{DM}$=$\frac{AE}{MN}$，即$\frac{2}{DM}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
解得，DM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
同理，當(dāng)△ABE∽△NDM時(shí)，DM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴DM為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．