Question

19．現(xiàn)有一塊直角三角形邊角料，兩條直角邊分別長(zhǎng)6cm和8cm，要你利用這塊邊角料裁剪出一個(gè)面積最大的正方形材料，你準(zhǔn)備怎樣裁剪？所得正方形的面積是多少？注意：要討論哦，自己標(biāo)上字母．

Answer 1

分析 分類(lèi)討論：當(dāng)正方形的兩邊在直角三角形的直角邊上，如圖1，AC=6cm，BC=8cm，四邊形CDEF為正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則BD=BC-CD=8-x，證明△BED∽△BAC，利用相似比得到$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$；當(dāng)正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，如圖2，AC=6cm，BC=8cm，四邊形DEFG為正方形，作CN⊥AB于N，交DE于M，先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用面積法計(jì)算出CN=$\frac{24}{5}$，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為ycm，則DE=y，NM=DG=y，CM=CN-MN=$\frac{24}{5}$-y，接著證明△CED∽△CBA，利用相似比得到$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$=$\frac{y}{10}$，解得y=$\frac{120}{37}$，然后比較x和y的大小，然后可判斷像（1）所示圖形進(jìn)行裁剪所得正方形的面積最大．

解答 解：當(dāng)正方形的兩邊在直角三角形的直角邊上，如圖1，AC=6cm，BC=8cm，四邊形CDEF為正方形，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則BD=BC-CD=8-x，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$；
當(dāng)正方形的一邊在直角三角形的斜邊上，如圖2，AC=6cm，BC=8cm，四邊形DEFG為正方形，
作CN⊥AB于N，交DE于M，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CN•AB=$\frac{1}{2}$CA•CB，
∴CN=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為ycm，則DE=y，NM=DG=y，CM=CN-MN=$\frac{24}{5}$-y，
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{DE}{AB}$，即$\frac{\frac{24}{5}-y}{\frac{24}{5}}$=$\frac{y}{10}$，解得y=$\frac{120}{37}$，
∵$\frac{24}{7}$=$\frac{120}{35}$＞$\frac{120}{37}$，
∴x＞y，
∴當(dāng)所裁正方形的兩直角邊在三角形的直角邊上時(shí)，正方形的面積最大，最大值為（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度；利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）；借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．