Question

12．如圖（a），拋物線y₁=a（x-2）²-1的頂點為M，交x軸于A，B兩點，交y軸于C點，且OA+OB=OC+1．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）如圖（b），P為M點右側(cè)拋物線圖象上一點，CH⊥PM于H，若CA=CH，求P點坐標．
（3）將原拋物線繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線y₂，其頂點為E，設(shè)D為原拋物線y₁對稱軸上一點，當四邊形BCDE為菱形時（按字母順序構(gòu)圖），求y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y₁=0，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得OA=OB=4，得OC=3，列出方程求出a即可解決問題．
（2）如圖（b）中，過點H作EF∥y軸，CE⊥EF于E，MF⊥EF于F，連接MC，AC．由△CEH∽△HFM，得$\frac{CH}{MH}$=$\frac{EC}{HF}$=$\frac{EH}{MF}$，在Rt△CMH中求出HM，推出CH=MH，CE=HF，EH=FM，設(shè)MF=a，則EH=a，CE=HF=2+a，由EH+HF=4，列出方程即可解決問題．
（3）分兩種情形討論①當點D在BC上方時，②當點D在BC下方時，先求出D點坐標，設(shè)E（m，n），利用中點坐標公式列出方程組即可解決問題．

解答 解：（1）∵y₁=a（x-2）²-1=ax²-4ax+4a-1，
令y₁=0，則有ax²-2ax+4a-1=0，
∴OA+OB=4，
∵OA+OB=OC+1，
∴OC=3，
∴4a-3=1，
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．

（2）如圖（b）中，過點H作EF∥y軸，CE⊥EF于E，MF⊥EF于F，連接MC，AC．

∵CH⊥PM，
∴∠CHM=∠CEH=∠MFH=90°，
∴∠CHE+∠HCE=90°，∠CHE+∠MHF=90°，
∴∠HCE=∠MHF，
∴△CEH∽△HFM，
∴$\frac{CH}{MH}$=$\frac{EC}{HF}$=$\frac{EH}{MF}$，
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，AC=$\sqrt{10}$，MC=2$\sqrt{5}$，
∵AC=CH，
∴HM=$\sqrt{C{M}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{20-10}$=$\sqrt{10}$，
∴CH=HH，EC=HF，EH=MF，設(shè)MF=a，則EH=a，CE=HF=2+a，
由EH+HF=4，得a+2+a=4，
∴a=1，
∴點H坐標（3，2），
設(shè)直線MH的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
∴直線MH的解析式為y=3x-7，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-7}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴點P坐標為（5，8）．

（3）如圖（c）中，

①當點D在BC上方時，∵四邊形BCDE是菱形，
∴BC=CD=3$\sqrt{2}$，
∴點D坐標（2，3+$\sqrt{14}$），設(shè)E（m，n），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+3}{2}=\frac{0+m}{2}}\\{\frac{3+\sqrt{14}}{2}=\frac{3+n}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
∴點E坐標（5，$\sqrt{14}$），
∴新的拋物線y₂的解析式為y₂=-（x-5）²+$\sqrt{14}$．
②當點D在BC下方時，∵四邊形BCD′E′是菱形，
∴BC=CD′=3$\sqrt{2}$，
∴點D′坐標（2，3-$\sqrt{14}$），設(shè)E′（m，n），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+3}{2}=\frac{0+m}{2}}\\{\frac{0+3-\sqrt{14}}{2}=\frac{3+n}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
∴點E坐標（5，-$\sqrt{14}$），
∴新的拋物線y₂的解析式為y₂=-（x-5）²-$\sqrt{14}$．
綜上所述，新的拋物線y₂的解析式為y₂=-（x-5）²+$\sqrt{14}$或y₂=-（x-5）²-$\sqrt{14}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、中點坐標公式等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求交點坐標，學會利用參數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組解決問題，屬于中考壓軸題．