Question

20．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在CB的延長線上，連接DE，交AB于點F，連接DB，且∠AFD=∠DBE，∠DBE=∠CDE．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）當(dāng)BD平分∠ABC時，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合已知條件，只需推知AB∥DC即可；
（2）有（1）可知：∠DBE=∠CDE，利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定以及平行四邊形的判定方法證明四邊形ABCD為平行四邊形，再證明AB=AD即可證明：四邊形ABCD是菱形．

解答 （1）證明：∵∠AFD=∠DBE，∠DBE=∠CDE，
∴∠AFD=∠CDE，
∴AB∥DC．
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．           

（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠1． 
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠ADB=∠2，
∴AB=AD，而四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題綜合性的考查了平行線的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)和菱形的判定方法，題目的綜合性較強(qiáng)．