Question

18．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD為中線，點E在射線CA上，作DF⊥DE交直線BC于點F，且AE=3cm，EF=5cm，則AC的長為1cm或7cm．

Answer 1

分析 如圖1由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CD⊥AB，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知AD=CD，從而可知△ADC為等腰直角三角形，故此可得到∠FCD=∠EAD=135°，根據(jù)同角的余角相等可證明∠ADE=∠FDC，從而可證明△EAD≌△FCD，于是得到AE=CF=3，Rt△ECF中，由勾股定理可求得EC=4，于是得到AC=1cm；同理在圖2中可求得AC=7cm．

解答 解：如圖1所示：

∵AC=CB，CD是中線，
∴CD⊥AB．
∴∠ADF+∠FDC=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠EDA+∠ADF=90°．
∴∠ADE=∠FDC．
∵∠ACB=90°，CD是中線，
∴AD=CD．
∵CD⊥AB，AD=CD，
∴∠CAD=∠ACD=45°．
∴∠FCD=∠EAD=135°．
在△EAD和△FCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCD=∠EAD}\\{AD=CD}\\{∠CAD=∠ACD}\end{array}\right.$
∴△EAD≌△FCD．
∴AE=CF=3．
在Rt△ECF中，EC=$\sqrt{E{F}^{2}-F{C}^{2}}$=4．
∴AC=EC-AE=4-3=1cm．
如圖2所示

∵AC=CB，CD是中線，
∴CD⊥AB．
∴∠ADF+∠FDC=90°．
∵DE⊥DF，
∴∠EDA+∠ADF=90°．
∴∠ADE=∠FDC．
∵∠ACB=90°，CD是中線，
∴AD=CD．
∵CD⊥AB，AD=CD，
∴∠CAD=∠ACD=45°．
∴∠EAD=∠FCD=45°．
在△EAD和△FCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCD=∠EAD}\\{AD=CD}\\{∠CAD=∠ACD}\end{array}\right.$
∴△EAD≌△FCD．
∴AE=CF=3．
在Rt△ECF中，EC=$\sqrt{E{F}^{2}-F{C}^{2}}$=4．
∴AC=EC+AE=4+3=7cm．
故答案為：1cm或7cm．

點評 本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，證得△EAD≌△FCD是解題的關(guān)鍵．