Question

19．閱讀以下材料：
對(duì)于三個(gè)數(shù)a、b、c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{-1，2，3}=$\frac{-1+2+3}{3}$=$\frac{4}{3}$；min{-1，2，3}=-1，…解決下列問(wèn)題：
（1）填空：如果min{2，2x+2，4-2x}=2，則x的取值范圍為0≤x≤1；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；
②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論：如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么a=b=c（填a、b、c的大小關(guān)系），證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．
③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，+2x-y}，則x+y=-4
（3）在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x+1，y=（x-1）²，y=2-x的圖象（不需列表描點(diǎn)），通過(guò)觀察圖象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值為1．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)橛胢in（a，b，c）表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，由min{2，2x+2，4-2x}=2，得出2x+2≥2，且4-2x≥2，兩個(gè)式子同時(shí)成立，據(jù)此即可求得x的范圍；
（2）①M(fèi){2，x+1，2x}=$\frac{2+x+1+2x}{3}$=x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，則x+1是2、x+1、2x中最小的一個(gè)，即：x+1≤2且x+1≤2x，據(jù)此即可求得x的值；
②根據(jù)①可以得到結(jié)論：當(dāng)三個(gè)數(shù)的平均數(shù)等于三個(gè)數(shù)中的最小的數(shù)，則這幾個(gè)數(shù)相等，據(jù)此即可寫出；
③根據(jù)結(jié)論，三個(gè)數(shù)相等，即可求得x，y的值，從而求得x+y的值；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的作法作出圖象，然后根據(jù)min的定義解答即可．

解答 解：（1）由min{2，2x+2，4-2x}=2，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2≥2}\\{4-2x≥2}\end{array}\right.$，即0≤x≤1，
故答案為：0≤x≤1；

（2）①∵M(jìn){2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2x}\\{x+1≤2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x≤1}\end{array}\right.$，
∴x=1；
②證明：由M{a，b，c}=min{a，b，c}，可令$\frac{a+b+c}{3}$=a，即b+c=2a；
又∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b+c}{3}≤b}\\{\frac{a+b+c}{3}≤c}\end{array}\right.$，
解之得：a+c≤2b，a+b≤2c；
把b+c=2a代入a+c≤2b 可得c≤b；把b+c=2a代入a+b≤2c可得b≤c；
∴b=c；將b=c代入b+c=2a得c=a；
∴a=b=c，
故答案為：a=b=c；
③據(jù)②可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+2=x+2y}\\{2x+y+2=2x-y}\end{array}\right.$，
解之得y=-1，x=-3，
∴x+y=-4，
故答案為：=-4；

（3）作出圖象，由圖可知min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，比較大小以及利用已知提供信息得出函數(shù)值的方法，讀懂題目信息并理解新定義“M”與“min”的意義是解題的關(guān)鍵．