Question

20．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點，且BC=2AF．
（1）求證：四邊形ADFE為矩形；
（2）若∠C=30°，AF=2，寫出矩形ADFE的周長．

Answer 1

分析 （1）連接DE．根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAC=∠FEC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接DE．
∵E，F(xiàn)分別是邊AC，BC的中點，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵點D是邊AB的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB．
∴AD=EF．
∴四邊形ADFE為平行四邊形；
由點D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC．
∵BC=2AF，
∴DE=AF，
∴四邊形ADFE為矩形；
（2）解：∵四邊形ADFE為矩形，
∴∠BAC=∠FEC=90°，
∵AF=2，
∴BC=4，CF=2，
∵∠C=30°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，EF=1，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴矩形ADFE的周長=2$\sqrt{3}$+2．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．