Question

19．【閱讀理解】對于任意正實數(shù)a、b，因為${（\sqrt{a}-\sqrt）^2}$≥0，所以a-$2\sqrt{ab}+b$≥0，所以a+b≥$2\sqrt{ab}$，只有當a=b時，等號成立．
【獲得結(jié)論】在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2$\sqrt{p}$，只有當a=b時，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：若m＞0，只有當m=1時，m+$\frac{1}{m}$有最小值2．
【探索應用】如圖，已知A（-3，0），B（0，-4），P為雙曲線$y=\frac{12}{x}（x＞0）$上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目所給信息可知m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$，且當m=$\frac{1}{m}$時等號成立，可得出答案；
（2）可設P（x，$\frac{12}{x}$），可表示出AC和BD，則四邊形ABCD的面積為S_{四邊形ABCD}=2（x+$\frac{9}{x}$）+12，再利用所給信息可得到其最小值，此時x=3，可得出AC=BD，可得出四邊形ABCD為菱形．

解答 解：
（1）根據(jù)題目所給信息可知m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$，且當m=$\frac{1}{m}$時等號，
∴當m=1時，m+$\frac{1}{m}$≥2，
即當m=1時，m+$\frac{1}{m}$有最小值2，
故答案為：1，2；
（2）設P（x，$\frac{12}{x}$），則C（x，0），D（0，$\frac{12}{x}$），
∴CA=x+3，BD=$\frac{12}{x}$+4，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$CA×BD=$\frac{1}{2}$（x+3）（$\frac{12}{x}$+4），
化簡得：S=2（x+$\frac{9}{x}$）+12，
∵x＞0，$\frac{9}{x}$＞0，
∴x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x×\frac{9}{x}}$=6，
只有當x=$\frac{9}{x}$，即x=3時，等號成立，
∴S≥2×6+12=24．
∴S四邊形ABCD有最小值24，
此時，P（3，4），C（3，0），D（0，4），
AB=BC=CD=DA=5，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及反比例函數(shù)解析式、菱形的判定、四邊形的面積等知識點和探究問題的能力．在（1）中關(guān)鍵是通過對題目信息的把握，把知識應用到題目的解決中來，在（2）中關(guān)鍵是設出P點坐標，用x把四邊形ABCD的面積表示出來，再利用題目中的結(jié)論來解決．本題為閱讀理解題，這類題目主要考查學生把握信息和處理信息的能力，難度不大．