Question

10．計算：$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）}$+…+$\frac{\frac{1}{2016}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2016}）}$．

Answer 1

分析 先計算每一個分數(shù)，再找出規(guī)律：$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{2}{2017}$，再轉(zhuǎn)化成2（$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），計算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{2}{2017}$，
=2×（$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）
=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）
=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2017}$）
=2×$\frac{2017-2}{2×2017}$
=$\frac{2015}{2017}$．

點評 本題考查了分式的加減，把原分式化簡，找到規(guī)律$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{2}{2017}$=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）是解題的關鍵．