Question

1．（1）問題發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且CE=BF，連接DE，過點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，F(xiàn)C，請判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是FG=CE，位置關(guān)系是FG∥CE．
（2）拓展探究：
如圖2，若點(diǎn)E、F分別是CB、BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請出判斷判斷予以證明；
（3）類比延伸：
如圖3，若點(diǎn)E、F分別是BC、AB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=CE，F(xiàn)G∥CE；
（2）構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED，利用對應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后，利用等量代換即可求出FG=CE，F(xiàn)G∥CE；
（3）證明△CBF≌△DCE，即可證明四邊形CEGF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）FG=CE，F(xiàn)G∥CE；理由如下：
過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于點(diǎn)H，如圖1所示：
則GH∥BF，∠GHE=90°，
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE與△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GHE=∠DCE}&{\;}\\{∠HGE=∠DEC}&{\;}\\{EG=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，
∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四邊形GHBF是矩形，
∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH
∴FG∥CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；
故答案為：FG=CE，F(xiàn)G∥CE；

（2）FG=CE，F(xiàn)G∥CE仍然成立；理由如下：
過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于點(diǎn)H，如圖2所示：
∵EG⊥DE，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE，
在△HGE與△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GHE=∠DCE}&{\;}\\{∠HGE=∠DEC}&{\;}\\{EG=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△HGE≌△CED（AAS），
∴GH=CE，HE=CD，
∵CE=BF，∴GH=BF，
∵GH∥BF，
∴四邊形GHBF是矩形，
∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH
∴FG∥CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴HE=BC，
∴HE+EB=BC+EB，
∴BH=EC，
∴FG=EC；

（3）FG=CE，F(xiàn)G∥CE仍然成立．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，
在△CBF與△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}&{\;}\\{∠FBC=∠ECD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四邊形CEGF平行四邊形，
∴FG∥CE，F(xiàn)G=CE．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識．本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形．