Question

2．已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6，點D在⊙O上，連接AD，BD，CD．
（1）如圖1，若AD經(jīng)過圓心O，求BD，CD的長；
（2）如圖2，若∠BAD=2∠DAC，求BD，CD的長．

Answer 1

分析 （1）由AD經(jīng)過圓心O，利用圓周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因為AB⊥AC，且AB=AC=6，易得四邊形ABCD為正方形，易得結(jié)果；
（2）連接OC，OB，OD，由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圓周角定理得BC為直徑，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，BO=CO=DO=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，由圓周角定理得∠COD=60°，∠BOD=120°，△COD為等邊三角形，求得CD，BD．

解答 解：（1）∵AD經(jīng)過圓心O，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
∵AB⊥AC，且AB=AC=6，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴BD=CD=AB=AC=6；

（2）連接OC，OB，OD，過O點作OE⊥BD，
∵AB⊥AC，AB=AC=6，
∴BC為直徑，
∴BC=6$\sqrt{2}$，
∴BO=CO=DO=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
∵∠BAD=2∠DAC，
∴∠CAD=30°，∠BAD=60°，
∴∠COD=60°，∠BOD=120，
∴△COD為等邊三角形，∠BOE=60°，
∴CD=CO=DO=3$\sqrt{2}$，
在直角三角形CDB中，BD=$\sqrt{3}$CD=3$\sqrt{6}$，
則BE=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵OE⊥BD，
∴BD=2BE=3$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，數(shù)形結(jié)合，作出適當?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．