Question

7．如圖1，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連接BF，CD，CO．
（1）求證：CD=BF；
（2）如圖2，當(dāng)△DEF繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，探究BF與CD間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CO=BO，OD=OF，則CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）連結(jié)OC、OD，BF與CD相交于H，如圖2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，OD⊥EF，則∠BOF=∠DOC，接著可證明△BOF≌△COD得到BF=CD，∠OBF=∠OCD，然后證明∠CHB=∠COB=90°得到BF⊥CD．

解答 解：（1）∵△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，
∴AB、EF的中點(diǎn)均為O，
∴CO=BO，OD=OF，
∴CD=OC+OD=OB+OF=BF；
（2）解：BF=CD，BF⊥CD．
理由如下：
連結(jié)OC、OD，BF與CD相交于H，如圖2，

∵△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，OD⊥EF，
∴∠BOC=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOC，
在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，
∴BF=CD，∠OBF=∠OCD，
∴∠CHB=∠COB=90°，
∴BF⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、求得三角形的性質(zhì)與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等．