Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸的正半軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B（2，0），三角形△ABO的面積為2．點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，0）．動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在射線OB上運(yùn)動，過P作PM⊥x軸交直線AB于M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時，設(shè)△MBQ的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒，請用含t的式子來表示s；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長線上運(yùn)動時，是否存在某一時刻t（秒），使△MBQ是以QM為腰的等腰三角形？若存在，求出時間t值．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形AOB面積，以及B的坐標(biāo)，求出OB的長，進(jìn)而求出OA的長，確定出A的坐標(biāo)即可；
（2）如圖1所示，作出相應(yīng)的圖形，表示出OP的長，利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，表示出M縱坐標(biāo)，即為MP的長，由BQ為底，MP為高表示出三角形MBQ面積，即可確定出y與t的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長線上運(yùn)動時，存在某一時刻t（秒），使△MBQ是以QM為腰的等腰三角形，如圖2所示，求出此時OP的長，即可確定出此時的時間．

解答 解：（1）∵Rt△AOB面積是2，且OB=2，
∴OA=2，即A（0，2）；
（2）如圖1所示，由P的速度為1個單位/秒，得到OP=t，

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A（0，2）和B（2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=2，即AB解析式為y=-x+2，
把x=t代入直線AB解析式y(tǒng)=-x+2中得：y=-t+2，即MP=-t+2，
∴S_△MBQ=$\frac{1}{2}$BQ•MP，即y=-t+2（0≤t≤2）；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長線上運(yùn)動時，存在某一時刻t=3或4（秒）時，使△MBQ是以QM為腰的等腰三角形，
如圖2所示：

∵BM=QM，MP⊥BQ，
∴BP=QP=$\frac{1}{2}$BQ=1，
∴OP=OB+BP=2+1=3，
若P與Q重合，即t=4秒時，△MBQ為等腰三角形，
則當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長線上運(yùn)動時，存在某一時刻t=3或4秒時，使△MBQ是以QM為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形面積求法，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．