Question

7．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，CE⊥BD，CD=CB，求證：
（1）∠3=∠4；
（2）OA=OC．

Answer 1

分析 （1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=DE，得出∠1=∠2，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠ACB=∠1+∠4，即可得出結(jié)論；
（2）作AG⊥BC于G，交BE于F，連接CF，則AG∥CE，由等腰三角形的性質(zhì)得出BG=CG，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=CF，得出∠2=∠BCF，證出∠ACF=∠4，得出AE∥CF，證出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出OA=OC．

解答 證明：（1）∵CE⊥BD，CD=CB，
∴BE=DE，
∴∠1=∠2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠1+∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠3=∠4；
（2）作AG⊥BC于G，交BE于F，連接CF，如圖所示：
∵CE⊥BD，
∴AG∥CE，
∵AB=AC，
∴BG=CG，
∴BF=CF，
∴∠2=∠BCF，
∴∠3=∠ACF，
∵∠3=∠4，
∴∠ACF=∠4，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴OA=OC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．