Question

13．如圖1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上
（1）求證：AE²+AD²=2AC²；
（2）如圖2，若AE=2，AC=2$\sqrt{5}$，點F是AD的中點，直接寫出CF的長是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）連結BD，由等腰直角三角形的性質得出∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，得出2AC²=AB²．由SAS證明△AEC≌△BDC，得出AE=BD，∠E=∠BDC=45°，CE=CD，證出∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，在Rt△ADB中．由勾股定理即可得出結論；
（2）由（1）得：CE=CD，AE²+AD²=2AC²；得出AD=4，AF=DF=2=AE，得出EF=DA，由SAS證明△CEF≌△CDA，得出CF=CA=2$\sqrt{5}$即可．

解答 （1）證明：連結BD，如圖所示：
∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．
∵∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC=45°，CE=CD，
∴∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，
在Rt△ADB中．∵AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．

（2）解：由（1）得：CE=CD，AE²+AD²=2AC²；
∴∠E=∠CDA，2²+AD²=2×（2$\sqrt{5}$）²，
解得：AD=4，
∵點F是AD的中點，
∴AF=DF=2=AE，
∴EF=DA，
在△CEF和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}&{\;}\\{∠E=∠CDA}&{\;}\\{EF=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△CDA（SAS），
∴CF=CA=2$\sqrt{5}$；
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質等知識；證明三角形全等是解決問題的關鍵．