Question

1．如圖，點(diǎn)E在直線BH、DC之間，點(diǎn)A為BH上一點(diǎn)，且AE⊥CE，∠DCE-∠HAE=90°．
（1）如圖1，求證：BH∥CD．
（2）如圖2，延長(zhǎng)CE交直線BH于F，點(diǎn)M為AE上一點(diǎn)，且∠MCE=∠AFC．求證：∠MCD=2∠FAE．
（3）如圖3，點(diǎn)N在BH、CD之間，∠BAN：∠EAN=∠DCN：∠ECN=1：2，點(diǎn)K為射線AB上一點(diǎn)（K不與A重合，且在直線CN與AB交點(diǎn)的右側(cè)，即∠KNC＜180°），NS平分∠KNA交直線BA于S，NP平分∠KNC交直線BA于P．
求證：∠DCN+∠APN-∠ANS=45°．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AE交DC于F，根據(jù)AE⊥CE垂直可得∠CEF=90°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，從而得到∠HAE=∠AFD，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得證；
（2）延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由（1）得，BH∥CD，∠FAE=∠CGE，根據(jù)AE⊥CE可知∠CEG=90°，由三角形外角的性質(zhì)得出∠DCM+∠MCE=∠CGE+90°，即∠DCM+∠MCE=∠FAE+90°，再根據(jù)∠MCE=∠AFC=90°-∠FAE即可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)PN交CD的延長(zhǎng)線為M，根據(jù)，∠BAN：∠EAN=∠DCN：∠ECN=1：2，∠DCE-∠HAE=90°及平角定義，可得出∠BAN+∠DCN=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，可得到∠APN+∠DCN=∠PNC=2∠ANS+∠ANP，③根據(jù)∠BAN=∠ANP+∠APN，∠BAN+∠DCN=90°，可得出∠ANP+∠APN+∠DCN=90°④，利用③+④，可推得∠APN+∠DCN=∠ANS+45°的關(guān)系，即得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，延長(zhǎng)AE交DC于F，
∵AE⊥CE，
∴∠CEF=90°，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠DCE-∠AFD=∠CEF=90°，
又∵∠DCE-∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠AFD，
∴BH∥CD；

（2）證明：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵由（1）得，BH∥CD，
∴∠FAE=∠CGE．
∵AE⊥CE，
∴∠AEF=∠CEG=90°，
∴∠AFC=90°-∠FAE．
∵∠DCE是△CEG的外角，
∴∠DCM+∠MCE=∠CGE+90°，即∠DCM+∠MCE=∠FAE+90°，
∴∠MCE=∠AFC=90°-∠FAE，
∴∠DCM+90°-∠FAE=∠FAE+90°，即∠MCD=2∠FAE；

（3）證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)PN交CD的延長(zhǎng)線為M，
∵∠BAN：∠EAN=1：2，
∴∠5+2∠5+∠1=180°    ①
∵∠DCN：∠ECN=1：2，∠DCE-∠HAE=90°，
∴∠2+2∠2-∠1=90°   ②
由①+②，得   3∠5+3∠2=270°，
∴∠5+∠2=90°
∵AB∥CD，
∴∠APN=∠NMC，
又∵∠NMC+∠2=∠6，
∴∠APN+∠2=∠6
∵NP平分∠KNC，NS平分∠KMA，
∴∠KNA=2∠4，∠6=2∠4+∠3，
∴∠APN+∠2=2∠4+∠3    ③
∵∠5=∠3+∠APN，∠5+∠2=90°，
∴∠3+∠APN+∠2=90°   ④
③+④，化簡(jiǎn)得：∠APN+∠2=∠4+45°，
∴∠APN+∠2-∠4=45°，即：∠DCN+∠APN-∠ANS=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判斷、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線是解決此題的關(guān)鍵．對(duì)于第（3）小題，理清各角之間的聯(lián)系是重中之重．