Question

16．已知△ABC中，AB=AC=8，∠B=30°，D為BC上中點(diǎn)，Rt△DNM中，∠MDN=30°，D為定點(diǎn)，DM、DN交AB、AC于E、F．
（1）證明：△BED∽△CDF∽△DEF．
（2）求△AEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠B=30°，由∠MDN=30°，于是得到∠BED+∠BDE=∠BDE+∠FDC=150°，推出△BED∽△CDF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，由于BD=CD，等量代換得到$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，于是證得△BED∽△EDF，即可得到結(jié)論；
（2）解：過(guò)D作DM⊥AB于M，DG⊥EF于G，DN⊥AC于N，由已知條件得到BM=$\sqrt{3}$DM=$\sqrt{3}×\sqrt{3}AM=3AM$，求得BM=6，AM=2，同理AN=2，由（1）證得△BED∽△CDF∽△DEF，通過(guò)△DME≌△DGE，同理△DGF≌△DNF，得到ME=GE，F(xiàn)G=FN，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC=8，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵∠MDN=30°，
∴∠BED+∠BDE=∠BDE+∠FDC=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BED∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{DE}{DF}$，
∵D為BC上中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{DE}{DF}$，
∵∠B=∠EDF=30°，
∴△BED∽△EDF，
∴△BED∽△CDF∽△DEF；

（2）解：過(guò)D作DM⊥AB于M，DG⊥EF于G，DN⊥AC于N，
∴BM=$\sqrt{3}$DM=$\sqrt{3}×\sqrt{3}AM=3AM$，
∴BM=6，AM=2，
同理AN=2，
由（1）證得△BED∽△CDF∽△DEF，
∴∠BED=∠DEF，∠DFE=∠CFD，
在△DME與△DGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠DGE=90°}\\{∠BED=∠DEF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△DGE，
同理△DGF≌△DNF，
∴ME=GE，F(xiàn)G=FN，
∴△AEF的周長(zhǎng)=AE+EF+AF=AE+GE+FG+AF=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求三角形的周長(zhǎng)，正確的周長(zhǎng)輔助線是解題的關(guān)鍵．